Tugas Modul 2 KB 1 : Teori Bilangan
1. Buktikan bahwa jika a|b dan c maka ac|bd
Penyelesaian :
Diketahui a|b dan c|d
Karena a|b dan c|d maka terdapat bilangan bulat m dan n
Sehingga b=ma dan d=nc
Dengan
mensubstitusikan b=ma dan d=nc diperoleh
bd =ma.nc
=(mn)ac
Hal ini menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat mn sehingga berlaku (mn)ac.
Jadi dapat disimpulkan bahwa ac|bd.
2. Buktikan bahwa jika
a|(b-c) dan a|(c+d) maka a|(b+d).
Penyelesaian :
Diketahui a|(b-c) dan a|(c+d)
a|(b-c) dan a|(c+d) maka terdapat bilangan bulat m dan n
Sehingga b-c=ma dan c+d=na
Dengan
mensubstitusikan b-c=ma dan c+d=na diperoleh
(b-c)+(c+d) =ma+na
b+d =(m+n)a
Hal ini menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat m+n sehingga berlaku b+d=(m+n)a.
Jadi dapat disimpulkan bahwa a|(b+d).
3. Jika
a|b dan a|c maka untuk a|(bm+cn) setiap bilangan bulat m dan n.
Penyelesaian :
Diketahui a|b dan a|c
a|b dan a|c maka terdapat bilangan bulat m dan n sehingga a|bm dan a|cn
a|bm dan a|cn maka terdapat bilangan bulat x dan y
Sehingga bm=xa dan cn=ya
Dengan
mensubstitusikan bm=xa dan cn=ya diperoleh
bm+cn=xa+ya
bm+cn=(x+y)a
Hal ini
menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat x+y sehingga berlaku bm+cn=(x+y)a.
Jadi dapat disimpulkan bahwa a|(bm+cn).
4. Hitung
a) FPB (256, 375)
b) FPB (8543, 4504)
Penyelesaian:
5. Buktikan bahwa FPB((a.b),b)=FPB(a,b)
Penyelesaian :
FPB((a,b),b) = (a,b)m+bn terdapat bilangan bulat m dan n
= amx + bmy + bn terdapat bilangan bulat x dan y
= amx+b(my+n)
Hal ini
menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat mx dan my+n sehingga berlaku
amx + b(my+n).
Jadi dapat disimpulkan bahwa FPB(a,b).
6. Buktikan bahwa jika c|a dan FPB (a,b) =1 maka FPB(c,b)=1
Penyelesaian :
Diketahui
· c|a maka terdapat bilangan bulat m sehingga c|a -> a=mc
· FPB(a,b)=1 maka terdapat bilangan bulat n dan k sehingga FPB(a,b)=an+bk=1
Dengan
mensubstitusikan a=mc maka diperoleh
mcn + bk = 1
cmn + bk = 1
Hal ini menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat mn dan k sehingga berlaku cmn+bk=1.
Jadi dapat disimpulkan bahwa FPB(c,b)=1
7. Buktikan bahwa FPB (a,a+b) =1 jika dan hanya jika FPB (b,a) =1
Penyelesaian :
Untuk membuktikan
⇔ maka akan dibuktikan kiri dan kanan
a.
Bukti kiri:
FPB (a,a+b)=1 maka terdapat bilangan bulat m dan n sehingga
FPB (a,a+b)=1 -> am+(a+b)n=1
-> am+an+bn=1
-> bn+a(m+n)=1
Hal ini
menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat n dan m+n sehingga berlaku
bn+a(m+n)=1.
Jadi dapat disimpulkan bahwa FPB (b,a)=1
b.
Bukti kanan:
FPB (b,a)=1 maka terdapat bilangan bulat x dan y sehingga
FPB (b,a)=1 -> bx+ay=1
-> bx+ay-ax+ax=1
-> ay-ax+ax+bx=1
-> a(y-x)+(a-b)x=1
Hal ini menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat y-x dan x sehingga berlaku
a(y-x)+(a+b)x=1.
Jadi dapat disimpulkan bahwa FPB (a,a+b)=1.
Karena terbukti dari bukti kanan dan kanan maka terbukti bahwa FPB (a,a+b)=1. jika dan hanya jika (b,a)=1.
8. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif m berlaku FPB (ma,mb)=FPB(a,b)
Penyelesaian :
FPB(ma,mb) maka terdapat bilangan bulat x dan y sehingga
FPB(ma,mb) = max+mby
FPB(ma,mb) = m(ax+by)
Hal ini menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat x dan y sehingga berlaku m(ax+by).
Jadi dapat disimpulkan bahwa m FPB (a,b).
9. Buktikan KPK[a,-b]=KPK[a,b]
Penyelesaian :
Misal KPK [a,-b] maka a|d dan -b|d
Akan dibuktikan :
-b|d =d=-bm=b(-m)
Ada bilangan bulat (-m) sehingga d=b(-m) maka b|d
Karena -b|d =b|d berlaku a|d dan b|d ⇒ d=KPK [a,b]
Diperoleh KPK [a,-b] =d dan KPK [a,b]=d maka KPK [a,-b]=KPK [a,b].
Jadi terbukti bahwa KPK [a,-b]=KPK [a,b].
10. Buktikan FPB(a,b)|KPK[a,b]
Penyelesaian :
Misal FPB(a,b) =p maka p|a dan p|b
KPK[a,b]=q maka a|q dan b|q
Menurut Teirema 2.1.1 jika a|b dan b|c maka a|c
sehingga p|a dan a|q maka p|q
p|b dan b|q maka p|q
Jadi terbukti FPB(a,b)|KPK[a,b]
Untuk Materi dan Pembahasan nomor selanjutnya dapat anda unduh pada link dibawah ini.
Materi Modul 2 KB 1 Teori BIlangan
Soal dan Pembahasan Daring PPGDJ Modul 2 KB 1 Teori BIlangan
